Bài 2. Phép tịnh tiến - Chương I

Bài 1 trang 7 SGK Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng: $M^{\prime }$ = $T_{\vec{v}}$(M) $\iff M=T_{\overrightarrow{-v}}\left(M^{\prime }\right)$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa của phép tịnh tiến: $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M^{\prime }\iff \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$

Lời giải chi tiết

$M^{\prime }$ = $T_{\vec{v}}$$\left(M\right)$ ⇔ $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{v}$ ⇔$\overrightarrow{M^{\prime }M}$ =$\overrightarrow{-v}\iff M=T_{\overrightarrow{-v}}\left(M^{\prime }\right)$

Bài 2 trang 7 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ biến D thành A.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa của phép tịnh tiến: $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M^{\prime }\iff \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$

Lời giải chi tiết

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

. Suy ra $T_{\overrightarrow{AG}}\left(A\right)=G$, $T_{\overrightarrow{AG}}\left(B\right)=B^{\prime }$, $T_{\overrightarrow{AG}}\left(C\right)=C^{\prime }$.

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có $\overrightarrow{DA}$ = $\overrightarrow{AG}$. Do đó, $T_{\overrightarrow{AG}}\left(D\right)=A$

Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $v=(-1;2)$, hai điểm $A(3;5)$, $B(-1;1)$ và đường thẳng d có phương trình $x-2y+3=0$.

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}\left(a;b\right)$ biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x';y'). Khi đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }-x=a\\ y^{\prime }-y=b\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $A^{\prime }=(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó

$T_{\vec{v}}\left(A\right)=A^{\prime }$ ⇔ $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=3-1=2\\ y^{\prime }=5+2=7\end{array}$  $\Rightarrow A^{\prime }=(2;7)$

Tương tự ta tìm được $B^{\prime }=(-2;3)$

b) Ta có $A=T_{\vec{v}}\left(C\right)$ ⇔ $C=T_{\overrightarrow{-v}}\left(A\right)$ (với $-\overrightarrow{v}=\left(1;-2\right)$)

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=3+1=4\\ y^{\prime }=5-2=3\end{array}\Rightarrow C\left(4;3\right)$

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi $M(x;y)$, $M^{\prime }=T_{\vec{v}}=(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó 

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-1\\ y^{\prime }=y+2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+1\\ y=y^{\prime }-2\end{array}$

Ta có $M\in d\iff x-2y+3=0$$\iff (x^{\prime }+1)-2(y^{\prime }-2)+3=0\iff x^{\prime }-2y^{\prime }+8=0$

$\iff M^{\prime }\in d^{\prime }$ có phương trình $x-2y+8=0$.

Vậy $T_{\vec{v}}\left(d\right)=d^{\prime }:x-2y+8=0$

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi $T_{\vec{v}}\left(d\right)=d^{\prime }$.

Khi đó $d^{\prime }$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình của nó có dạng $x-2y+C=0$ $\left(C\ne 3\right)$.

Lấy một điểm thuộc $d$ chẳng hạn $B(-1;1)$, khi đó gọi $B^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-1-1=-2\\ y^{\prime }=1+2=3\end{array}$ $\Rightarrow B^{\prime }\left(-2;3\right)\in d^{\prime }$

$\Rightarrow -2-2.3+C=0\iff C=8$

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d^{\prime }\right):x-2y+8=0$.

Bài 4 trang 8 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hai đường thẳng $a$ và$b$ song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến $a$ thành $b$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Lời giải chi tiết

Giả sử $a$ và $b$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v}$

. Lấy điểm $A$ bất kì thuộc $a$ và điểm $B$ bất kì thuộc $b$. Với mỗi điểm $M$, gọi $M^{\prime }$ = $T_{\overrightarrow{AB}}$ $\left(M\right)$ . Khi đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$= $\overrightarrow{AB}$. Suy ra $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{B{M}^{\prime }}$

Ta có:

$M\in a\iff$ $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$ ⇔ $\overrightarrow{B{M}^{\prime }}$  cùng phương với $\overrightarrow{v}$ $\iff M^{\prime }\in b$.

Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$ biến $a$ thành $b$.

Vì $A,B$ là các điểm bất kì  ( trên $a$ và $b$ tương ứng) nên có vô số phép tịnh tiến biến $a$ thành $b$.